Question

若數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)都有，記．
（1）求,的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）若求證：對(duì)任意．

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見試題解析．

解析試題分析：（1）分別令可求得的值；（2）利用與的關(guān)系式，先求，再利用已知條件求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）先利用累加法求得,再利用裂項(xiàng)相消法求和，進(jìn)而可證明不等式．
試題解析：(1)由，得，解得．      1分
，得，解得．      3分
（2）由           ①，            
當(dāng)時(shí)，有  ②，　　              4分
①－②得：，　　　　　　　　　　　　　　　　   ５分
數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列　　　　   ６分
，　　　　　   ７分
．　　　　　　　　   ８分
（3），
，　    (1)
，     (2)
，
，
，          ()　　　　　   ９分
(1)+(2)+   +()得，    10分
，                                    11分　
，　　　　　　　　    12分

，　　　　　　　    13分
，　　　　　　　　　　　　　　　　　
對(duì)任意均成立．　　　    14分
考點(diǎn)：1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法；2、數(shù)列前項(xiàng)和的求法；3、數(shù)列不等式的證明．