Question

已知函數y=x+

a

x

有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在(0，

a

]上是減函數，在[

a

，+∞)上是增函數，
（1）如果函數y=x+

3m

x

(x＞0)的值域是[6，+∞），求實數m的值；
（2）研究函數f(x)=x2+

a

x2

（常數a＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；
（3）若把函數f(x)=x2+

a

x2

（常數a＞0）在[1，2]上的最小值記為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析：（1）根據題意，易得由已知，函數y=x+

3m

x

(x＞0)在(0，

3m

]上是減函數，在[

3m

，+∞)上是增函數，則該函數當x=

3m

時，取得最小值，有題意知其最小值為6，可得2

3m

=6，解可得答案；
（2）根據題意，求得f(x)=x2+

a

x2

的定義域為x≠0，再令t=x²，x≠0，有t＞0，則y=t+

a

t

，那么該函數在(0，

a

]上是減函數，在[

a

，+∞)上是增函數，而t=x²在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減；
由復合函數的單調性分析可得答案；
（3）由（2）的結論，分可

4	a

＞2、1≤

4	a

≤2、

4	a

＜1三種情況討論，分別得到g（a）的表達式，即可得答案．

解答：解：（1）由已知，函數y=x+

3m

x

(x＞0)在(0，

3m

]上是減函數，在[

3m

，+∞)上是增函數，
∴ymin=

3m

+

3m

3m

=2

3m

∴2

3m

=6，3^m=9
因此m=2．
（2）根據題意，f(x)=x2+

a

x2

，x≠0，
令t=x²，x≠0，則t＞0，
故y=t+

a

t

，那么該函數在(0，

a

]上是減函數，在[

a

，+∞)上是增函數，
而t=x²在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減；
由復合函數的單調性，
當(0，

4	a

]時，t=x²遞增，t在(0，

a

]上，則y=t+

a

t

是減函數，故f（x）在(0，

4	a

]上是減函數，
當x∈[

4	a

，+∞)時，t=x²遞增，t在[

a

，+∞)上，則y=t+

a

t

是增函數，故f（x）在[

4	a

，+∞)上是增函數，
當x∈(-∞，-

4	a

]，t=x²遞減，t在[

a

，+∞)上，則y=t+

a

t

是增函數，故f（x）在[

4	a

，+∞)上是減函數，
當x∈(0，

4	a

]，t=x²遞減，t在(0，

a

]上，則y=t+

a

t

是減函數，故f（x）在[

4	a

，+∞)上是增函數，
因此f（x）在(-∞，-

4	a

]，(0，

4	a

]上是減函數，在[-

4	a

，0)，[

4	a

，+∞)上是增函數．
（3）由（2）知，f（x）在(0，

4	a

]上是減函數，在[

4	a

，+∞)上是增函數，
于是當

4	a

＞2，即a＞16時，g(a)=f(2)=4+

a

4

，
當1≤

4	a

≤2，即1≤a≤16時，g(a)=f(

4	a

)=2

a

，
當

4	a

＜1，即0＜a＜1時，g（a）=f（1）=1+a．          
因此g(a)=

1+a  (0＜a＜1) 2 a   (1≤a≤16) 4+ a 4   (a＞16)

．

點評：本題考查函數單調性的運用，解題的關鍵在于緊扣題干所給函數的單調性的性質，并利用其解題．