Question

已知函數(shù)y=x+

a

x

（x＞0）有如下性質：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞）上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)y=x+

b2

x

（x＞0）的值域為[6，+∞），求b的值；
（2）研究函數(shù)y=x²+

c

x2

（x＞0，常數(shù)c＞0）在定義域內的單調性，并用定義證明（若有多個單調區(qū)間，請選擇一個證明）；
（3）對函數(shù)y=x+

a

x

和y=x²+

a

x2

（x＞0，常數(shù)a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數(shù)F（x）=(x2+

1

x

)2+(

1

x2

+x)2在區(qū)間[

1

2

，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知：函數(shù)y=x+

b2

x

（x＞0）在（0，

b2

]上是減函數(shù)，在[

b2

，+∞）上是增函數(shù)．從而當x=

b2

時，函數(shù)取到最小值6，故可解；
（2）根據(jù)題意可知：函數(shù)y=x²+

c

x2

（x＞0，常數(shù)c＞0）在（0，

4	c

]上是減函數(shù)，在[

4	c

，+∞）上是增函數(shù)，再用定義進行證明；
（3）根據(jù)題意，結合基本不等式可作推廣．利用推廣結論，可知函數(shù)在[

1

2

，1]上是減函數(shù)，在[1，2]上是增函數(shù)，從而可解．

解答：解：（1）函數(shù)y=x+

b2

x

（x＞0）在（0，

b2

]上是減函數(shù)，在[

b2

，+∞）上是增函數(shù)．當x=

b2

時，ymin=

b2

+

b2

b2

=2

b2

=6，
所以b=±3．（漏-3，扣1分）…（4分）
（2）函數(shù)y=x²+

c

x2

（x＞0，常數(shù)c＞0）在（0，

4	c

]上是減函數(shù)，在[

4	c

，+∞）上是增函數(shù)．…（2分）
證明：函數(shù)y=x²+

c

x2

（x＞0，常數(shù)c＞0）在（0，

4	c

]上是減函數(shù)
在（0，

4	c

]內任取兩個變量x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則y1-y2=

x

2 1

 +

c

x 2 1

-

x

2 2

-

c

x 2 2

=

( x 2 1 - x 2 2 )( x 2 1 x 2 2 -c)

x 2 1 x 2 2

∵x₁，x₂∈（0，

4	c

]且x₁＜x₂，
∴y₁＞y₂
∴函數(shù)y=x²+

c

x2

（x＞0，常數(shù)c＞0）在（0，

4	c

]上是減函數(shù)…（4分）
（3）作出推廣：y=xⁿ+

a

xn

（x＞0，n∈N*，常數(shù)a＞0）…（1分）
在（0，

2n	a

]上是減函數(shù)，在[

2n	a

，+∞）上是增函數(shù)．…（2分）
或作出推廣：y=x2n+

a

x2n

（x＞0，n∈N，常數(shù)a＞0）…（1分）
在（0，

(2•2n)	a

]上是減函數(shù)，在[

(2•2n)	a

，+∞）上是增函數(shù)．…（2分）
F（x）=(x2+

1

x

)2+(

1

x2

+x)2
=(x4+

1

x4

)+(x2+

1

x2

)+2(x+

1

x

)
[

1

2

，1]上是減函數(shù)，在[1，2]上是增函數(shù)．…（2分）
當x=1時，F(xiàn)（x）_min=8；
當x=

1

2

或2時，F(x)max=

405

16

．…（3分）

點評：本題的考點是函數(shù)與方程的綜合運用，主要考查與基本不等式結合，研究函數(shù)的單調性，并做推廣，從而研究函數(shù)的最值．