Question

已知函數 ，．
(1）當  時，求函數  的最小值；
(2）當 時，求證：無論取何值，直線均不可能與函數相切；
(3）是否存在實數，對任意的 ，且，有恒成立，若存在求出的取值范圍，若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）-2ln2；（2）詳見解析；（3）存在實數，．

試題分析：（1）把a=1代入函數解析式，求導后得到導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，根據導函數在各區間段內的符號得到原函數的單調性，從而求出函數f（x）的最小值；（2）把a=-1代入原函數，求出導函數后利用基本不等式求出導函數的值域，從而說明無論c 取何值，直線均不可能與函數f（x）相切；（3）假設存在實數a使得對任意的 ，且 ，有恒成立，假設 ，則 恒成立，構造輔助函數 ，只要使函數g（x）在定義域內為增函數即可，利用其導函數恒大于等于0可求解a的取值范圍．
解；（1）顯然函數的定義域為，        
當．   
∴ 當，．
∴在時取得最小值，其最小值為 ．
（2）∵，
假設直線與相切，設切點為，則
所以所以無論取何值，直線均不可能與函數相切。
（3）假設存在實數使得對任意的 ，且，有,恒成立，不妨設，只要，即：
令，只要 在為增函數
又函數．
考查函數 
要使,
故存在實數恒成立．