Question

已知圓C：x²+y²-2x-4y-4=0，在圓C上只有兩個點到直線l：x+y+c=0的距離是

2

，則c的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：由圓的方程求出圓心和半徑，結合題意可得 r-

2

＜弦心距d＜r+

2

，即 3-

2

＜

|c+3|

2

＜3+

2

，解絕對值不等式，求得c的范圍．

解答： 解：圓C：x²+y²-2x-4y-4=0 即 （x-1）²+（y-2）²=9，表示以C（1，2）為圓心，半徑等于3的圓．
∵圓C上只有兩個點到直線l：x+y+c=0的距離是

2

，∴r-

2

＜弦心距d＜r+

2

．
再根據圓心到直線的距離d=

|1+2+c|

2

=

|c+3|

2

，可得 3-

2

＜

|c+3|

2

＜3+

2

，
求得3

2

-2＜|c+3|＜3

2

+2，
∴3

2

-2＜c+3＜3

2

+2 ①，或-3

2

-2＜c+3＜-3

2

+2 ②．
解①可得-5+3

2

＜c＜-1+3

2

，解②可得-5-3

2

＜c＜-1-3

2

，
故答案為：（-5+3

2

，-1+3

2

）∪（-5-3

2

，-1-3

2

）．

點評：本題主要考查圓的標準方程，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．