Question

在平面直角坐標系中，已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，且經過點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2） 以橢圓的長軸為直徑作圓，設為圓上不在坐標軸上的任意一點，為軸上一點，過圓心作直線的垂線交橢圓右準線于點．問：直線能否與圓總相切，如果能，求出點的坐標；如果不能，說明理由．

Answer 1

(1) ；（2）能，點.

試題分析：（1）求橢圓方程，一般要找到兩個條件，本題中有離心率為，即，另外橢圓過點，說明，這樣結論易求；（2）存在性命題，問題假設存在，設，再設，首先有，，，于是，寫出直線方程為，讓它與橢圓右準線相交，求得，與圓相切，則有，即，這是關于的恒等式，由此利用恒等式的知識可求得，說明存在，若求不出，說明假設錯誤，不存在.
（1）設橢圓方程為，因為經過點，所以，，
又因為，可令，所以，，即，
所以橢圓的標準方程為．                         6分
（2）存在點                               7分
設點，，因為在以橢圓的長軸為直徑作圓上，且不在坐標軸上的任意點，
所以 且，又因為，
由，所以，，所以直線的方程為，         10分
因為點在直線上，令，得，
即，                              12分
所以，
又，與圓總相切，故，于是有，
，即恒成立，解之可得，
即存在這樣點，使得與圓總相切．                   16分