Question

【題目】過軸上動(dòng)點(diǎn)引拋物線的兩條切線、， 、為切點(diǎn)，設(shè)切線、的斜率分別為和.

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求證：直線恒過頂點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）直線過定點(diǎn)，證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)過與拋物線的相切的直線的斜率是，則該切線的方程為，將直線方程代入拋物線的方程化簡(jiǎn)得，由得，而都是方程的解，故；（Ⅱ）法1：設(shè)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式寫出切線方程并化簡(jiǎn)變形得切線方程為，切線方程為，又由于點(diǎn)在AP、AQ上，所以， ，則直線的方程是，則直線過定點(diǎn).；法2：由（1）知P、Q的橫坐標(biāo)是方程的根，可設(shè)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)求得PQ的方程并化簡(jiǎn)為即，由（1）知，所以直線的方程是，則直線過定點(diǎn).

試題解析：（Ⅰ）設(shè)過與拋物線的相切的直線的斜率是，

則該切線的方程為： ，由得

，

則都是方程的解，故。

（Ⅱ）法1：設(shè)，

故切線的斜率是，方程是又，

所以方程可化為，

切線的斜率是，方程是又，

所以方程可化為，

又由于點(diǎn)在AP上，則，

又由于點(diǎn)在AQ上，則，

，

則直線的方程是，則直線過定點(diǎn).

法2：設(shè)， 所以,

直線： ，

即，由（1）知，

所以，直線的方程是，則直線過定點(diǎn).