Question

【題目】在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線的極坐標方程為，為曲線上的動點，與軸、軸的正半軸分別交于，兩點.

（1）求線段中點的軌跡的參數方程；

（2）若是（1）中點的軌跡上的動點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）點的軌跡的參數方程為（為參數）；（2）面積的最大值為.

【解析】試題分析：（1）將極坐標方程利用，化為直角坐標方程，利用其參數方程設，則，從而可得線段中點的軌跡的參數方程；（2）由（1）知點的軌跡的普通方程為，直線的方程為.

設，利用點到直線距離公式、三角形面積公式以及輔助角公式，結合三角函數的有界性可得面積的最大值.

試題解析：（1）由的方程可得，又，，

∴的直角坐標方程為，即.

設，則，

∴點的軌跡的參數方程為（為參數）.

（2）由（1）知點的軌跡的普通方程為，，，，所以直線的方程為.

設，則點到的距離為

，

∴面積的最大值為.