Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為3的疋方形，側(cè)面與底面垂直，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，且滿足，點(diǎn)在棱上，

（1）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值；

（2）當(dāng)取何值時(shí)，二面角的正弦值為.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

在底面內(nèi)過點(diǎn)作，交與，由已知可證底面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo).

（1）由條件得出坐標(biāo)，求出平面法向量，根據(jù)向量的線面角公式，即可求解；

（2）設(shè)，分別求出平面、平面的法向量，根據(jù)向量的面面角公式，結(jié)合已知，得到關(guān)于的方程，求解即可得出結(jié)論

解：因?yàn)閭?cè)面底面，

，平面，

平面平面，

所以底面，

在底面內(nèi)過點(diǎn)作，

交與，則，

又底面，

所以，，

以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

，

（1）點(diǎn)，因?yàn)?/span>，

所以點(diǎn)，

，

，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

滿足，

取，法向量為，

，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（2）設(shè)，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

滿足，

取，法向量為，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

滿足，

取，法向量，

由題意

整理得，，

，即.