Question

【題目】已知函數在處的切線方程為

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若為整數，當時， 恒成立，求的最大值（其中為的導函數）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調區間遞增區間為 ，遞減區間為; （Ⅱ）整數的最大值為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，由f'（ln2）=1求導a值，再由f（ln2）=﹣ln2求得b值，代入原函數的導函數，再由導函數的符號與原函數單調性間的關系確定原函數的單調區間；

（Ⅱ）將條件轉化為，當時恒成立. 令，利用導數求最小值得答案.

試題解析：

（Ⅰ），由已知得，故，解得

又，得，解得.

，所以

當時， ；當時，

所以的單調區間遞增區間為 ，遞減區間為.

（Ⅱ）法一.由已知，及整理得

，當時恒成立

令， .

當時， ；

由（Ⅰ）知在上為增函數，

又.

所以存在 使得，此時

當時， ；當時，

所以.

故整數的最大值為.

法二.由已知，及整理得，

令 ，

得， .

當時，因為，所以， 在上為減函數，

.

， 為增函數。

為減函數。

由已知 .

令， ， 在上為增函數.

又，

故整數的最大值為.