Question

【題目】已知函數f（x）=（ + ）x3（a＞0，a≠1）．
（1）討論函數f（x）的奇偶性；
（2）求a的取值范圍，使f（x）+f（2x）＞0在其定義域上恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），

∵f（﹣x）=（ + ）（﹣x）3=﹣（ + ）x3=（ + ）=f（x）

∴f（x）是偶函數．

（2）解：∵函數f（x）在定義域上是偶函數，

∴函數y=f（2x）在定義域上也是偶函數，

∴當x∈（0，+∞）時，f（x）+f（2x）＞0可滿足題意，

∵當x∈（0，+∞）時，x3＞0，

∴只需 + + + ＞0，即 ＞0，

∵a2x+ax+1＞0，

∴（ax）2﹣1＞0，解得a＞1，

∴當a＞1時，f（x）+f（2x）＞0在定義域上恒成立．

【解析】（1）由可推知f（﹣x）=f（x），從而可判斷函數f（x）的奇偶性；（2）利用（1）知f（x）為偶函數，可知當x∈（0，+∞）時，x3＞0，從而可判知，要使f（x）+f（2x）＞0在其定義域上恒成立，只需當a＞1時即可．
【考點精析】利用函數的奇偶性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．