Question

【題目】已知定義在實數集上的偶函數和奇函數滿足．

（1）求與的解析式；

（2）求證：在區間上單調遞增；并求在區間的反函數；

（3）設（其中為常數），若對于恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析，，；（3）

【解析】

（1）利用函數的奇偶性構造，解出兩個函數的解析式；

（2）由（1）可知，利用定義證明函數的單調性，令，整理為，解得，再求反函數；

（3）在單調遞增，∴， 對于恒成立，然后利用參變分離為對于恒成立，求的取值范圍.

（1）①，

因為是偶函數，是奇函數，所以有，即②

∵，定義在實數集上，

由①和②解得，，．

（2），當且僅當，即時等號成立．對于任意，，

因為，所以，，，，，，

從而，所以當時，遞增．

設，則，令，則．再由解得，即．

因為，所以，

因此的反函數，.

（3）∵在單調遞增，∴．

∴對于恒成立，∴對于恒成立，

令，則，當且僅當時，等號成立，且，

所以在區間上單調遞減，∴，

∴為的取值范圍．