Question

下面四個命題：①命題“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；
②把函數y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

3

個單位，得到y=3sin2x的圖象；
③函數f（x）=ax²-lnx的圖象在x=1處的切線平行于直線y=x，則（

2

2

，+∞）是f（x）的單調遞增區間；
④正方體的內切球與其外接球的表面積之比為1：3；
其中所有正確命題的序號為

①③④

．

Answer 1

分析：根據含有量詞的命題的否定的方法，得到①正確；根據函數圖象平移的規律，得到②錯誤；根據導數的幾何意義，結合利用導數判斷函數單調性的方法，得到③正確；根據正方體的結構特征，結合球的表面積公式，得到④正確．

解答：解：對于①，它是一個含有量詞的命題
“?x∈R，x²-x＞0”即“存在x∈R，使得x²-x＞0成立”，其否定應該是不存在滿足條件的x．
也就是說，對于任意的x∈R，都有x²-x≤0，即“?x∈R，x²-x≤0”，故①正確；
對于②，設F（x）=3sin（2x+

π

3

），圖象向右平移

π

3

個單位，應該得到F（x-

π

3

）=3sin（2x-

π

3

），
而不是y=3sin2x的圖象，故②錯誤；
對于③，若函數f（x）=ax²-lnx的圖象在x=1處的切線平行于直線y=x，
說明f′（1）=1，而f/(x)=2ax-

1

x

所以2a-1=1，得a=1，函數表達式為f（x）=x²-lnx
∴f/(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，當x∈（

2

2

，+∞），f′（x）＞0，函數為增函數，故③正確；
對于④，設正方體的棱長為a，則它的內切球半徑為

a

2

，表面積為4π•(

a

2

)2=4πa²，
而正方體的外接球半徑為

3

2

a，可得外接球的表面積為4π•(

3 a

2

)2=12πa²
∴內切球與其外接球的表面積之比為1：3，故④正確
故答案為：①③④

點評：本題綜合了含有量詞的命題的否定、導數的幾何意義、運用導數判斷函數的單調性和球的內接外切等知識點，考查了命題真假的判斷，屬于中檔題．