Question

已知a∈R，函數f(x)=

a

x

+lnx-1．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）求f（x）在區間（0，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入到f（x）中化簡得到f（x）的解析式，求出f'（x），因為曲線的切點為（2，f（2）），所以把x=2代入到f'（x）中求出切線的斜率，把x=2代入到f（x）中求出f（2）的值得到切點坐標，根據切點和斜率寫出切線方程即可；
（2）借助于導數，將函數f(x)=

a

x

+lnx-1的最值問題轉化為導函數進行研究．此題只須求出函數的導函數，利用導數求解．

解答：解：（1）當a=1時，f(x)=

1

x

+lnx-1，x∈（0，+∞），
所以f′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，x∈（0，+∞）．…（2分）
因此f′(2)=

1

4

．
即曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為

1

4

．…（4分）
又f(2)=ln2-

1

2

，
所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-(ln2-

1

2

)=

1

4

(x-2)，
即x-4y+4ln2-4=0．…（6分）
（2）因為f(x)=

a

x

+lnx-1，所以f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

．
令f'（x）=0，得x=a． …（8分）
①若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）在區間（0，e]上單調遞增，此時函數f（x）無最小值．
②若0＜a＜e，當x∈（0，a）時，f'（x）＜0，函數f（x）在區間（0，a）上單調遞減，
當x∈（a，e]時，f'（x）＞0，函數f（x）在區間（a，e]上單調遞增，
所以當x=a時，函數f（x）取得最小值lna．…（10分）
③若a≥e，則當x∈（0，e]時，f'（x）≤0，函數f（x）在區間（0，e]上單調遞減，
所以當x=e時，函數f（x）取得最小值

a

e

．…（12分）
綜上可知，當a≤0時，函數f（x）在區間（0，e]上無最小值；
當0＜a＜e時，函數f（x）在區間（0，e]上的最小值為lna；
當a≥e時，函數f（x）在區間（0，e]上的最小值為

a

e

．…（13分）

點評：考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調性以及根據函數的增減性得到函數的極值．靈活運用分類討論的數學思想解決數學問題．本題考查利用導數研究函數的極值，導數的引入，為研究函數的極值與最值帶來了方便．