Question

【題目】設函數定義域為若在上單調遞減,則稱為函數的峰點, 為含峰函數.（特別地,若在上單調遞增或遞減,則峰點為1或0）.

對于不易直接求出峰點的含峰函數,可通過做試驗的方法給出的近似值,試驗原理為:“對任意的若則為含峰區間,此時稱為近似峰點;若則為含峰區間,此時稱為近似峰點”.

我們把近似峰點與之間可能出現的最大距離稱為試驗的“預計誤差”,記為,其值為其中表示中較大的數

（Ⅰ）若求此試驗的預計誤差;

（Ⅱ）如何選取才能使這個試驗方案的預計誤差達到最小?并證明你的結論（只證明的取值即可）.

（Ⅲ）選取可以確定含峰區間為或在所得的含峰區間內選取,由與或與類似地可以進一步得到一個新的預計誤差.分別求出當和時預計誤差的最小值.（本問只寫結果,不必證明）

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析;(3)見解析.

【解析】試題分析： 由已知，求出時，此試驗的預計誤差取此時試驗的預計誤差為，再分兩種情況討論點的位置，從而證明這是使試驗誤差達到最小的試驗設計當時預計誤差的最小值為，當時預計誤差的最小值為

解析：（Ⅰ）由已知得

所以

（Ⅱ）取此時試驗的預計誤差為

證明:分兩種情況討論,

當時,如圖所示,

如果那么

如果那么

當

綜上,當時,

同理可得當時,

即時,試驗的預計誤差最小.

（Ⅲ）當和時預計誤差的最小值分別為和