Question

在三棱錐中,是邊長為2的正三角形,平面平面,,分別為的中點(diǎn).

(1)證明:;
(2)求銳二面角的余弦值;

Answer 1

（1）見試題解析；（2）．

解析試題分析：（1）要證線線垂直，一般可先證線面垂直，而本題中有，是等邊三角形，故可以取中點(diǎn)為，則有，，這是等腰三角形的常用輔助線的作法；（2）關(guān)鍵是作出所求二面角的平面角，由已知及（1）中輔助線，可知平面，由于 是 中點(diǎn)，故只要取中點(diǎn) ，則有 ，也即 平面 ，有了平面的垂線，二面角的平面角就容易找到了。
試題解析：(1)證明:取中點(diǎn),連結(jié),.
∵ ∴且 
∴平面,又平面,∴ .

(2)設(shè)OB與C E交于點(diǎn)G，取OB中點(diǎn)為M，作MH^C E交CE于點(diǎn)H，連結(jié)FM，F(xiàn)G.
平面平面且， 
,,,
從而.,是二面角的平面角.
由得,
在中,,
,
故銳二面角的余弦值為 .
考點(diǎn)：（1）兩直線垂直；（2）二面角．