Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2+2，k∈R． （Ⅰ） 當k=0時，求f（x）的極值；
（Ⅱ） 若對于任意的x∈[0，+∞），f（x）≥1恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）k=0時，f（x）=（x﹣1）ex+2，

f′（x）=xex，

令f′（x）＞0，解得：x＞0，

令f′（x）＜0，解得：x＜0，

故f（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，

故f（x）極小值=f（0）=1；

（Ⅱ）f′（x）=x（ex﹣2k），

①k≤ 時，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）遞增，

f（x）min=f（0）=1≥1成立，

②k＞ 時，ln2k＞0，

令f′（x）＞0，解得：x＞ln2k，

令f′（x）＜0，解得：x＜ln2k，

故f（x）在[0，ln2k）遞減，在（ln2k，+∞）遞增，

故f（x）min=f（ln2k）=﹣k[（ln2k﹣1）2+1]+1＜1，

故k＞ 不合題意，

綜上，k≤

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，根據(jù)f（x）min≥1，求出k的范圍即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)，還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．