Question

【題目】已知橢圓的上、下頂點、右頂點、右焦點分別為B2、B1、A、F，延長B1F與AB2交于點P，若∠B1PA為鈍角，則此橢圓的離心率e的取值范圍為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】由題意得橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a、b、c，（c=）

可得∠B1PA等于向量與的夾角，

∵A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），F2（c，0）

∴=（a，﹣b），=（﹣c，﹣b），

∵∠B1PA為鈍角，∴與的夾角大于，

由此可得＜0，即﹣ac+b2＜0，

將b2=a2﹣c2代入上式得：a2﹣ac﹣c2＜0，

不等式兩邊都除以a2，可得1﹣e﹣e2＜0，即e2+e﹣1＞0，

解之得e＜或e＞，

結合橢圓的離心率e∈（0，1），可得＜e＜1，即橢圓離心率的取值范圍為（，1）．故答案為（，1）．