Question

（2012•深圳二模）定義數列{a_n}：a₁=1，a₂=2，且對任意正整數n，有an+2=[2+(-1)n]an+（-1）ⁿ⁺¹+1．
（1）求數列{a_n}的通項公式與前n項和S_n；
（2）問是否存在正整數m，n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，則求出所有的正整數對（m，n）；若不存在，則加以證明．

Answer 1

分析：（1）由數列遞推式可得數列{a_2k-1}是首項a₁=1，公差為2等差數列；數列{a_2k}是首項a₂=2，公比為3的等比數列，由此可得數列{a_n}的通項公式；對任意正整數k，先分組求和S_2k，進而可得S_2k-1=S_2k-a_2k，從而可得數列{a_n}的前n項和；
（2）若S_2n=mS_2n-1，則3ⁿ+n²-1=m（3^n-1+n²-1），從而可求m=1，2，3，分類討論，即可求得符合條件的正整數對（m，n）．

解答：解：（1）對任意正整數k，a2k+1=[2+(-1)2k-1]a2k-1+（-1）^2k+1=a_2k-1+2，
a2k+2=[2+(-1)2k]a2k+（-1）^2k+1+1=3a_2k．（1分）
所以數列{a_2k-1}是首項a₁=1，公差為2等差數列；數列{a_2k}是首項a₂=2，公比為3的等比數列．（2分）
∴對任意正整數k，a_2k-1=2k-1，a_2k=2×3^k-1．（3分）
∴數列{a_n}的通項公式a_n=

2k-1，n=2k-1 2×3k-1，n=2k

=

n，n為正奇數 2×3 n 2 -1．n為正偶數

（4分）
∴對任意正整數k，S_2k=

k(1+2k-1)

2

+

2(1-3k)

1-3

=3^k+k²-1，S_2k-1=S_2k-a_2k=3^k-1+k²-1（6分）
∴數列{a_n}的前n項和為S_n=

3k-1+k2-1，n=2k-1 3k+k2-1，n=2k

=

3 n-1 2 + n2+2n-3 4 ，n為正奇數 3 n 2 + n2 4 -1，n為正偶數

（7分）
（2）若S_2n=mS_2n-1，則3ⁿ+n²-1=m（3^n-1+n²-1）
∴3^n-1（3-m）=（m-1）（n²-1），
∴m≤3，∴m=1，2，3（8分）
①當m=1時，3^n-1（3-m）＞0=（m-1）（n²-1），即S_2n≠mS_2n-1；（9分）
②當m=3時，3^n-1（3-3）=（2-1）（n²-1），∴n=1，即S₂，=3S₁；（10分）
③當m=2時，3^n-1=n²-1，則存在k₁＜k₂，k₁，k₂∈N，使得n-1=3^k₁，n+1=3^k2，k₁+k₂=n-1
從而3^k2-3^k1=3^k1（3^k2-k1-1）=2，得3^k1=1，3^k2-k1-1=2，
∴k₁=0，k₂-k₁=1，得n=2，即S₄=2S₃．（13分）
綜上可知，符合條件的正整數對（m，n）只有兩對：（2，2）與（3，1）（14分）

點評：本題考查了等差、等比數列的通項公式、求和公式，數列的分組求和等知識，考查了學生變形的能力，推理能力，探究問題的能力，分類討論的數學思想、化歸與轉化的思想以及創新意識．