Question

如圖，在五棱錐P－ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC．∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．

(Ⅰ)求證：平面PCD⊥平面PAC；

(Ⅱ)求二面角P―ED―B的正切值；

(Ⅲ)求直線PB與平面PCD所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：因為ABC＝45°，AB＝2，BC＝4， 　　所以在中，由余弦定理得：，解得， 　　所以，即 　　又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥， 　　又PA，所以， 　　又AB∥CD，所以， 　　又因為，所以平面PCD⊥平面PAC　　4分 　　(Ⅱ)由過作于，連接 　　由PA⊥平面ABCDE，由三垂線定理可知 　　則是二面角的平面角， 　　因為三角形是等腰三角形，所以， 　　又可求得，所以， 　　所以二面角的正切值為2　　8分