Question

已知三棱錐S—ABC的三條側棱SA、SB、SC兩兩互相垂直且長度分別為a、b、c,設O為S在底面ABC上的射影.求證:

(1)O為△ABC的垂心;

(2)O在△ABC內;

(3)設SO=h,則++=.

Answer 1

證明:(1)∵SA⊥SB,SA⊥SC,

    ∴SA⊥平面SBC,BC平面SBC.

    ∴SA⊥BC.

    而AD是SA在平面ABC上的射影,

    ∴AD⊥BC.

    同理,可證AB⊥CF,AC⊥BE,故O為△ABC的垂心.

     (2)證明△ABC為銳角三角形即可.不妨設a≥b≥c,則底面三角形ABC中,

    AB=為最大,從而∠ACB為最大角.

    用余弦定理求得

    cos∠ACB=＞0,

    ∴∠ACB為銳角,△ABC為銳角三角形.

    故O在△ABC內.

     (3)SB·SC=BC·SD,

    故SD=,=+,

    又SA·SD=AD·SO,

    ∴===+=++=.