Question

（2013•蘭州一模）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在以O為球心的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，若三棱錐S-ABC的體積為

2

6

，則球O的表面積為

4π

．

Answer 1

分析：根據題意作出圖形，欲求球O的表面積，只須求球的半徑r．利用截面圓的性質即可求出OO₁，進而求出底面ABC上的高SD，即可計算出三棱錐的體積，從而建立關于r的方程，即可求出r，從而解決問題．

解答：解：根據題意作出圖形：
設球心為O，球的半徑r．過ABC三點的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面ABC，
延長CO₁交球于點D，則SD⊥平面ABC．
∵CO₁=

2

3

×

3

2

=

3

3

，
∴OO₁=

r2-( 3 3 )2

=

r2- 1 3

，
∴高SD=2OO₁=2

r2- 1 3

，
∵△ABC是邊長為1的正三角形，
∴S_△ABC=

3

4

，
∴V_{三棱錐S-ABC}=

1

3

×

3

4

×2

r2- 1 3

=

2

6

，
∴r=1．則球O的表面積為 4π
故答案為：4π．

點評：本題考查棱錐的體積，考查球內角多面體，解題的關鍵是確定點S到面ABC的距離．