Question

【題目】已知橢圓C： （a>b>0）的離心率為 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面積為1.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P的橢圓C上一點，直線PA與Y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N。求證：lANl lBMl為定值。

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知， ，又 ，

解得

∴橢圓的方程為

（2）

解：方法一：

設橢圓上一點 ，則 .

直線 ： ,令 ，得 .

∴

直線 ： ,令 ，得 .

∴

將 代入上式得

故 為定值.

方法二：

設橢圓 上一點 ，

直線PA: ,令 ，得 .

∴

直線 : ,令 ，得 .

∴

故 為定值

【解析】（1）運用橢圓的離心率公式和三角形的面積公式，結合a，b，c的關系，解方程可得a=2，b=1，進而得到橢圓方程；（2）方法一、設橢圓上點P（x0 ， y0），可得x02+4y02=4，求出直線PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直線PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化簡整理，即可得到|AN||BM|為定值4．方法二、設P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直線PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直線PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，運用同角的平方關系，化簡整理，即可得到|AN||BM|為定值4．