Question

【題目】已知函數與的圖象關于直線對稱. （為自然對數的底數）

（1）若的圖象在點處的切線經過點，求的值；

（2）若不等式恒成立，求正整數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）e；（2）2.

【解析】

（1）根據反函數的性質，得出，再利用導數的幾何意義，求出曲線在點處的切線為，構造函數，利用導數求出單調性，即可得出的值；

（2）設，求導，求出的單調性，從而得出最大值為，結合恒成立的性質，得出正整數的最小值.

（1）根據題意，與的圖象關于直線對稱，

所以函數的圖象與互為反函數，則,，

設點，，又，

當時，，

曲線在點處的切線為，

即，代入點，

得，即，

構造函數，

當時，，

當時，，

且，當時，單調遞增，

而， 故存在唯一的實數根.

（2）由于不等式恒成立，

可設，

所以，

令，得.

所以當時，；當時，，

因此函數在是增函數，在是減函數.

故函數的最大值為 .

令，

因為， ，

又因為在是減函數.

所以當時，.

所以正整數的最小值為2.