Question

如圖所示，設曲線上的點與x軸上的點順次構成等腰直角三角形△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，…，直角頂點在曲線上，設A_n的坐標為（a_n，0），A為原點
（1）求a₁，并求出a_n和a_n-1 n∈N^*之間的關系式；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知，由此能求出a₁，利用△A_n-1B_nA_n為等腰直角三角形，且B_n為直角頂點，求出B_n點的橫縱坐標，再根據B_n點為函數y=（x＞0）圖象上的點，坐標滿足函數y=（x＞0）的解析式，就可得到a_n和a_n-1 之間的關系式．
（2）由（1）知數列{}是首項為4，公差為4的等差數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（3）由b_n===，能求出數列{b_n}的前n項和S_n．
解答：解：（1）∵曲線上的點與x軸上的點順次構成等腰直角三角形△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，…，直角頂點在曲線上，設A_n的坐標為（a_n，0），A為原點，
∴，
解得a₁=2．
過B_n點作B_nH⊥x軸，垂足為H，
∵△A_n-1B_nA_n為等腰直角三角形，且B_n為直角頂點，
∴|BnH|=|An-1An|=，
∴B_n點的縱坐標為，
∵△A_n-1B_nA_n為等腰直角三角形，且B_n為直角頂點，
∴H點為線段A_n-1A_n的中點，
∴H點橫坐標為，
∵B_nH⊥x軸，∴B_n點的橫坐標也為，
∵B_n點為函數y=（x＞0）圖象上的點，
∴•=1
∴=4．
（2）∵=4，a₁=2，
∴數列{}是首項為4，公差為4的等差數列，
∴，
∴．
（3）∵b_n=
=
=，
∴S_n=（）+（）+…+（）
=．
點評：本題考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意數與函數的綜合應用．