Question

【題目】如圖所示，某區有一塊空地，其中，，.當地區政府規劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖，其中都在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設兒童游樂場.為安全起見，需在的周圍安裝防護網.

（1）當時，求防護網的總長度；

（2）若要求挖人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的倍，試確定的大小；

（3）為節省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設計施工方案，可使的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）當且僅當時，的面積取最小值為

【解析】

（1）根據題意可得，在中，利用余弦定理求出，從而可得，即，進而可得為正三角形，即求解.

（2）設，利用三角形的面積公式，在中，利用正弦定理可得，從而，即，即求解.

（3）設，由（2）知，在中，利用正弦定理可得，利用三角形的面積公式可得，再利用二倍角公式以及輔助角公式結合三角函數的性質即可求解.

（1）在中，，，，

在中，，

由余弦定理，得，

，即，，

為正三角形，所以的周長為，

即防護網的總長度為.

（2）設，，

，即，

在中，由，得，

從而，即，由，

得，，即.

（3）設，由（2）知，

又在中，由，得，

，

當且僅當，即時，

的面積取最小值為.