Question

【題目】如圖，在底面是菱形的四棱錐中，E為CD中點，，，已知.

（1）證明：；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）要證明線線垂直，需線證明線面垂直，由條件可證明，并且根據邊長可證明可知AB，BP，AP三邊適合勾股定理，則AB⊥BP，這樣有AB⊥面APE，可證明線線垂直；

（2）以中點為坐標原點，為軸，為軸，作垂直于平面，

利用幾何關系求各得坐標，并求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值，再求正弦值.

（1）連結AE，由于E是CD中點，且∠ADC=60°，故AE⊥AB，

又有，而，，

故可知AB，BP，AP三邊適合勾股定理，則AB⊥BP，

那么有AB⊥面APE，而，故.

（2）如圖建系，其中O是AD中點，易知，，，

對于P的坐標，易知，有，記P在面ABCD上的投影為H，

，

可得，，即.

有，，

可求得平面APE的法向量（不唯一），

同理可求得平面BPE的法向量，

很顯然該二面角的余弦值的絕對值為，那么它的正弦值為.