Question

（2013•南開區二模）設函數f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+a．
（1）寫出函數f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（2）當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，函數f（x）的最大值與最小值的和為

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據二倍角公式，和輔助角公式，我們易將函數的解析化簡為正弦型函數的形式，進而求出函數f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（2）當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，根據函數f（x）的最大值與最小值的和為

3

2

，我們可構造出關于a的方程，解方程即可得到a的值．

解答：解（1）f(x)=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+a=sin(2x+

π

6

)+a+

1

2

，（2分）
∴T=π．（4分）
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得

π

6

+kx≤x≤

2π

3

+kπ．
故函數f（x）的單調遞減區間是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ](k∈Z)．                 （6分）
（2）∵-

π

6

≤x≤

π

3

，∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

．∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．（8分）
當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，原函數的最大值與最小值的和(1+a+

1

2

)+(-

1

2

+a+

1

2

)=

3

2

，∴a=0（12分）

點評：本題考查的知識點是三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性及其求法，正弦函數的值域，正弦函數的單調性，其中根據二倍角公式，和輔助角公式，化簡函數的形式，是解答本題的關鍵．