Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x+1）
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[m，n]（m＞-1）上的值域為[log2

p

m

，log2

p

n

]，求實數(shù)P的取值范圍；
（Ⅱ）設函數(shù)g(x)=log2(x2-3x+5)，h（t）=|t-a|+|t|，是否存在實數(shù)a，使得h（t）≥2^{f（x）-g（x）}對任意x∈（-1，+∞），t∈R恒成立？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]（m＞-1）上的單調(diào)性可求出值域，從而建立方程組，轉(zhuǎn)化成m，n是x+1=

p

x

的兩根，即方程：x²+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）有兩個相異的解，從而求出所求；
（Ⅱ）“h（t）≥2^{f（x）-g（x）}對任意x∈（-1，+∞），t∈R恒成立”轉(zhuǎn)化成“h（t）≥

x+1

x2-3x+5

的最大值”，然后利用基本不等式求出不等式右側(cè)函數(shù)的最大值，從而可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意知：f(m)=log2(m+1)=log2

p

m

，f(n)=log2(n+1)=log2

p

n

即：m+1=

p

m

，n+1=

p

n

，n＞m＞-1，
∴m，n是x+1=

p

x

的兩根，即方程：x²+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）有兩個相異的解，
由對稱軸x=-

1

2

＜-1，只需滿足

△=1+4p＞0 (-1)2+(-1)-p＞0

，解得：-

1

4

＜p＜0，
∴實數(shù)p的取值范圍是-

1

4

＜p＜0；
（Ⅱ）由題意h（t）≥2log2(x+1)-log2(x2-3x+5)=

x+1

x2-3x+5

對任意x∈（-1，+∞）成立，即h（t）≥

x+1

x2-3x+5

的最大值，
又∵

x+1

x2-3x+5

=

x+1

(x+1)2-5(x+1)+9

=

1

(x+1)+ 9 x+1 -5

≤1，當且僅當x+1=

9

x+1

，即x=2時取到，
∴h（t）≥1對t∈R恒成立，只需h（t）_min≥1，
而h（t）=|t-a|+|t|≥|a|，
∴|a|≥1即可，解得a≥1或a≤-1，
∴實數(shù)a的取值范圍是a≥1或a≤-1．

點評：本題主要考查了函數(shù)的定義域和值域，以及基本不等式在最值問題中的應用和恒成立問題，解決恒成立求參數(shù)范圍問題常常利用參數(shù)分離法，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．