Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)， ).以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線上一點的極坐標為，曲線的極坐標方程為.

(Ⅰ)求曲線的極坐標方程；

(Ⅱ)設點在上，點在上（異于極點），若四點依次在同一條直線上，且成等比數(shù)列,求 的極坐標方程.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)平方關(guān)系消元得曲線的直角坐標方程，再根據(jù)將直角坐標方程化為極坐標方程，最后代入A點坐標解出,（2）先設直線的極坐標方程為，代入，得交點極徑或關(guān)系，根據(jù)成等比數(shù)列得，代入化簡可得.

試題解析：(Ⅰ)曲線的直角坐標方程為，化簡得,

又，所以

代入點得，解得或（舍去）.

所以曲線的極坐標方程為.

(Ⅱ) 由題意知,設直線的極坐標方程為，設點,

則.

聯(lián)立得， ，所以.

聯(lián)立得， .

因為成等比數(shù)列，所以，即.

所以,解得.

經(jīng)檢驗滿足四點依次在同一條直線上,所以的極坐標方程為.