Question

已知函數f（x）=log₃（ax+b）圖象過點A（2，1）和B（5，2），設a_n=3^f（n），n∈N^*．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式及數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥a

2n+1

對一切n∈N*均成立的最大實數a；
（Ⅲ）對每一個k∈N^*，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個2，得到新數列：a₁，2，a₂，2，2，a₃，2，2，2，2，a₄，…，記為{b_n}，設T_n是數列{b_n}的前n項和，試問是否存在正整數m，使T_m=2008？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接把點A（2，1）和B（5，2）的坐標代入函數方程求出a，b的值，即可求函數f（x）的解析式及數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）先把問題轉化為a≤

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)對n∈N^*均成立，再記F(n)=

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)，相鄰兩相作商得到其單調行，進而求出其最小值即可得到最大實數a；
（Ⅲ）先根據條件求出a_m及其前面所有項之和的表達式，再根據10²+2¹⁰-2=1122＜2008＜11²+2¹¹-2=2167，即a₁₀＜2008＜a₁₁，即可找到滿足條件的m的值．

解答：解：（Ⅰ）由已知，得

log   (2a+b) 3 =1 log   (5a+b) 3 =2

解得：

a=2 b=-1

．
∴f(x)=log3(2x-1)， (x＞

1

2

)…（2分）
∴an=3log3(2n-1)=2n-1．n∈N^*
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1…（4分）
（Ⅱ）由題意a≤

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)對n∈N^*均成立…（5分）
記F(n)=

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)
則

F(n+1)

F(n)

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

2(n+1)

4(n+1)2-1

＞

2(n+1)

2(n+1)

=1
∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n）
∴F（n）隨著n的增大而增大…（7分）
而F（n）的最小值為F(1)=

2 3

3

∴a≤

2 3

3

，即a的最大值為

2 3

3

…（8分）
（Ⅲ）∵a_n=2n-1
∴在數列{b_n}中，a_m及其前面所有項之和為[1+3+5+…+（2m-1）]+（2+2²+…+2^m-1）=m²+2^m-2…（10分）
∵10²+2¹⁰-2=1122＜2008＜11²+2¹¹-2=2167
即a₁₀＜2008＜a₁₁…（11分）
又a₁₀在數列{b_n}中的項數為：10+1+2+…+2⁸=521…（12分）
且2008-1122=886=443×2
所以存在正整數m=521+443=964，使得S_m=2008…（14分）

點評：本題綜合考查了數列與函數的知識．解決第三問的關鍵在于求出a_m及其前面所有項之和的表達式，并通過計算得到10²+2¹⁰-2=1122＜2008＜11²+2¹¹-2=2167，即a₁₀＜2008＜a₁₁從而使問題得到解決．