Question

【題目】已知

(1)求的單調區間;

(2)設，為函數的兩個零點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】分析：（1）由函數，求得，通過討論實數的取值范圍，即可求出函數的單調區間；

（2）構造函數，與圖象兩交點的橫坐標為，問題轉化為，令，根據函數的單調性即可作出證明.

詳解：（1）∵，∴

當時，∴，

即的單調遞增區間為，無減區間；

當時，∴，

由，得，

時，，

時，，

∴時，易知的單調遞增區間為，

單調遞減區間為，

（2）由（1）知的單調遞增區間為，單調遞減區間為，

不妨設，由條件知，即

構造函數，與圖象兩交點的橫坐標為

由可得

而，∴

知在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

可知

欲證，只需證，即證，

考慮到在上遞增，只需證

由知，只需證

令 ，

則

，

所以為增函數，又，

結合知，即成立，

即成立.