Question

函數f（x）的定義域是R，對任意實數a，b都有f（a）+f（b）=f（a+b）．當x＞0時，f（x）＞0且f（2）=3．
（1）判斷的奇偶性、單調性；
（2）求在區間[-2，4]上的最大值、最小值；
（3）當時，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0對所有θ都成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令a=b=0，f（0）=0
令a=x，b=-x
∴f（x）+f（-x）=f（0）
∴f（x）為奇函數
令a+b=x₁，b=x₂且x₁＞x₂
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＞0
∴是增函數
（2）由（1）知是增函數
所以，當x=-2時取得取小值-3；當x=4時取得最大值f（4）=2f（2）=6
（3）由題意：當時，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0對所有θ都成立
可轉化為：2（cosθ）²-2mcosθ+4m-4＞0，當時恒成立
令t=cosθ∈[0，1]則轉化為：2t²-2mt+4m-4＞0，t∈[0，1]恒成立
令g（t）=2t²-2mt+4m-4

解得：m＞4+2
分析：（1）先看奇偶性，用賦值法，先令實數a，b都為零，求得f（0），再令實數a=x，b=-x探討f（-x），f（x）關系．再看單調性，a+b=x₁，b=x₂且x₁＞x₂再有f（a）+f（b）=f（a+b）．構造單調性定義模型，即f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）判斷即可．
（2）由（1）的單調性結論求解，若為增函數，則-2，4分別對應最小值，最大值．若為減函數，則-2，4分別對應最大值，最小值．
（3）將“f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0”利用主條件轉化為：f（cos2θ-3+4m-2mcosθ）＞f（0），再利用單調性轉化為“cos2θ-3+4m-2mcosθ＜0，恒成立”求解．
點評：本題主要考查抽象函數的奇偶性和單調性的判斷及其應用，在解決過程中，賦值法是常用的方法，嚴格落實主條件轉化問題是關鍵．