Question

橢圓的中心為原點O，離心率e=

1

2

，過右焦點F的直線l交橢圓于P、Q兩點，且橢圓經過點點A（2，0）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積．
（Ⅲ）若以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，可求得a與c，從而可得b²，于是可得橢圓的方程；
（Ⅱ）由直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理可求得弦長|PQ，利用原點（0，0）到直線PQ的距離公式可求得d，從而可求得△POQ的面積；
（Ⅲ）若以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，依題意

OP

•

OQ

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，從而可判斷滿足該條件的直線l的方程是否存在．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

，橢圓經過點點A（2，0），
∴a=2，故c=1，b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）因為直線l過橢圓右焦點F（1，0），且斜率為1，
所以直線l的方程為y=x-1．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

3x2+4y2=12 y=x-1

得7x²-8x-8=0，
∴x₁+x₂=

8

7

，x₁x₂=-

8

7

，
∴|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+kPQ2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

64 49 -4×(- 8 7 )

=

12 2

7

，
又原點（0，0）到直線PQ的距離d=

2

2

，
∴S_△POQ=

1

2

|PQ|•d=

1

2

×

12 2

7

×

2

2

=

6

7

．．
（3）當直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=1，
此時∠POQ大于90°，
OP，OQ為鄰邊的平行四邊形不可能是矩形．
當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x-1）．
由

3x2+4y2=12 y=k(x-1)

可得
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
∴x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

．
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）
∴y₁y₂=

-9k2

3+4k2

，
因為以OP，OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形?

OP

•

OQ

=0．
由

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=

4k2-12

3+4k2

+

-9k2

3+4k2

=

-5k2-12

3+4k2

=0得
5k²+12=0，這不可能．
∴所求直線的方程不存在．

點評：本題考查橢圓的標準方程，突出考查直線與圓錐曲線的位置關系及韋達定理、弦長公式、點到直線間的距離公式的綜合應用，屬于難題．