Question

（2009•湖北模擬）橢圓的中心為原點O，焦點在y軸上，離心率e=

6

3

，過P（0，1）的直線l與橢圓交于A、B兩點，且

AP

=2

PB

，求△AOB面積的最大值及取得最大值時橢圓的方程．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，直線l的方程為y=kx+1，由e=

6

3

，知c2=

2

3

a2，b2=

1

3

a2，把橢圓方程化為3x²+y²=3b²，聯(lián)立

3x2+y2=3b2 y=kx+1

，得（3+k²）x²+2kx+1-3b²=0．由此能求出△AOB面積的最大值為

3

2

和取得最大值時橢圓的方程．

解答：解：設(shè)橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
直線l的方程為y=kx+1（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵e=

6

3

，∴c2=

2

3

a2，b2=

1

3

a2，則橢圓方程可化為

y2

3b2

+

x2

b2

=1，即3x²+y²=3b²，
聯(lián)立

3x2+y2=3b2 y=kx+1

，得（3+k²）x²+2kx+1-3b²=0 （*）
有x1+x2=-

2k

3+k2

，
而由已知

AP

=2

PB

，有x₁=-2x₂，代入得x2=

2k

3+k2

，
∵k≠0
∴S△AOB=

1

2

×|OP|×|x1-x2|
=

3

2

|x2|
=

3|k|

3+k2

=

3

3 |k| +k

≤

3|k|

2 3 |k|

=

3

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±

3

時取等號                                                    （8分）
由x2=

2k

3+k2

，得x2=±

3

3

，將

k= 3 x= 3 3

，

k=- 3 x=- 3 3

代入（*）式得b2=

5

3

，
所以△AOB面積的最大值為

3

2

，取得最大值時橢圓的方程為

y2

5

+

x2

5 3

=1．（13分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．