Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n²+na_n+α，首項(xiàng)a₁=3．
（Ⅰ）當(dāng)n∈N^*時(shí)，a_n≥2n恒成立，求α的取值范圍；
（Ⅱ）若α=-2，求證：

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）先利用賦值法求得α，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，即得結(jié)論；
（Ⅱ）利用放縮法得當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n+1=a_n²+na_n+α得，a_n+1-2≥na_n-4≥2（a_n-2）＞0，a_n-2≥2^n-2（a₂-4）＞2^n-1，即

1

an-2

＜(

1

2

)n-1，
故

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

＜1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1利用等比數(shù)列求和公式得出數(shù)列的和，即得結(jié)論成立．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3≥2×1=2成立，得α∈R，
當(dāng)n=2時(shí)，a₂=12+α≥2×2，得α≥-8，
而當(dāng)α≥-8時(shí)，若a_n≥2n，則a_n+1=a_n²+na_n+α≥（2n）²+n×2n-8=2（n+1）+2n（3n-1）-10≥2（n+1），
∴α的取值范圍是[-8，+∞）；
（Ⅱ）當(dāng)α=-2時(shí)，

1

a1-2

=1，

1

a2-2

=

1

10-2

=

1

8

，
當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n+1=a_n²+na_n+α得，a_n+1-2≥na_n-4≥2（a_n-2）＞0，
∴a_n-2≥2^n-2（a₂-2）＞2^n-1，∴

1

an-2

＜(

1

2

)n-1，
∴

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

＜1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=2-(

1

2

)n-1＜2．

點(diǎn)評：本題主要考查遞推數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列求和、數(shù)學(xué)歸納法知識，考查恒成立問題的轉(zhuǎn)化及先猜后證和賦值法的運(yùn)用能力，考查不等式的放縮等，綜合性強(qiáng)屬難題．