【題目】某職稱晉級評定機構對參加某次專業技術考試的100人的成績進行了統計，繪制了頻率分布直方圖
如圖所示
，規定80分及以上者晉級成功，否則晉級失敗．
晉級成功 | 晉級失敗 | 合計 | |
男 | 16 | ||
女 | 50 | ||
合計 |
Ⅰ求圖中a的值；
Ⅱ根據已知條件完成下面
列聯表，并判斷能否有
的把握認為“晉級成功”與性別有關？
Ⅲ將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數為X，求X的數學期望
與方差
．
參考公式：
，其中
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【答案】（1）
；（2）有；（3）3.
【解析】
試題(Ⅰ)由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為
，即可求得
；
(Ⅱ)由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為
，得到晉級成功的人數為
（人），
得到
的列聯表，根據公式求解
的值，即可得到結論；
（Ⅲ）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為
，得到故
可視為服從二項分布，
利用二項分布的概率公式，求得概率，列出分布列，從而計算期望值．
試題解析：(Ⅰ)由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，可知
，故.
(Ⅱ)由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為
，
故晉級成功的人數為
（人），
故填表如下
晉級成功 | 晉級失敗 | 合計 | |
男 | 16 | 34 | 50 |
女 | 9 | 41 | 50 |
合計 | 25 | 75 | 100 |
假設“晉級成功”與性別無關，
根據上表數據代入公式可得
，
所以有超過85%的把握認為“晉級成功”與性別有關．
（Ⅲ）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為
，將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，這人晉級失敗的概率為，
故可視為服從二項分布，
即
，
，
故
，
，
，
，
，
故的分布列為
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
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或（
.
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【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以原點
為極點，以
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
，
.
（1）當
時，判斷曲線與曲線的位置關系；
（2）當曲線上有且只有一點到曲線的距離等于
時，求曲線上到曲線距離為
的點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（1）在復數范圍內解方程
（
為虛數單位）
（2）設
是虛數，
是實數，且
（i）求
的值及的實部的取值范圍；
（ii）設
，求證：
為純虛數；
（iii）在（ii）的條件下求
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，AB=2，AD=
，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求證：AD⊥BC；
（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法中錯誤的個數是（ ）
①若直線
平面
，直線
，則
；②若直線l和平面內的無數條直線垂直，則直線l與平面必相交；③過平面外一點有且只有一條直線和平面垂直；④過直線外一點有且只有一個平面和直線a垂直
A.0B.1C.2D.3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖所示的幾何體中，
平面
.
（1）證明：
平面
；
（2）過點
作一平行于平面
的截面，畫出該截面，說明理由，并求夾在該截面與平面之間的幾何體的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現有A，B兩個投資項目，投資兩項目所獲得利潤分別是
和
（萬元），它們與投入資金
(萬元)的關系依次是：其中與平方根成正比，且當為4（萬元）時為1（萬元），又與成正比，當為4（萬元）時也是1（萬元）；某人甲有3萬元資金投資．
（Ⅰ）分別求出，與的函數關系式；
（Ⅱ）請幫甲設計一個合理的投資方案，使其獲利最大，并求出最大利潤是多少？
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