Question

【題目】設為的三邊，求證：方程與有公共根的充要條件是.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

證充分性，即需解出公共根；證必要性，則先設公共根，解得a2＝b2＋c2.

充分性：∵∠A＝90°，

∴a2＝b2＋c2.于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化為x2＋2ax＋a2－c2＝0，

∴x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.

∴該方程有兩根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，

同樣另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化為x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，∴該方程有兩根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a).

可以發現，x1＝x3，

∴方程有公共根.

必要性：設x是方程的公共根，則

由①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去).代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.∴∠A＝90°.

綜上,方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°