Question

如圖，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面邊長是2，D是側棱CC₁的中點，直線AD與側面BB₁C₁C所成的角為45°．

(Ⅰ)求此正三棱柱的側棱長；

(Ⅱ)求二面角A－BD－C的大小；

(Ⅲ)求點C到平面ABD的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)設正三棱柱—的側棱長為．取中點，連． 　　是正三角形，． 　　又底面側面，且交線為． 　　側面． 　　連，則直線與側面所成的角為．　　　2分 　　在中，，解得．　　　3分 　　∴此正三棱柱的側棱長為．　　　　4分 　　注：也可用向量法求側棱長． 　　(Ⅱ)解法1：過作于，連， 　　側面∴． 　　為二面角的平面角．　　　6分 　　在中，，又 　　，∴． 　　又 　　∴在中，．　　　　8分 　　故二面角的大小為．　　　9分 　　解法2：(向量法，見后) 　　(Ⅲ)解法1：由(Ⅱ)可知，平面，∴平面平面，且交線為，∴過作于，則平面．　　　　　10分 　　在中，．　　12分 　　∴為中點，∴點到平面的距離為．　　13分 　　解法2：(思路)取中點，連和，由，易得平面平面，且交線為．過點作于，則的長為點到平面的距離． 　　解法3：(思路)等體積變換:由可求． 　　解法4：(向量法，見后) 　　題(Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法： 　　(Ⅱ)解法2：如圖，建立空間直角坐標系． 　　則． 　　設為平面的法向量． 　　由 得． 　　取　　　6分 　　又平面的一個法向量　　　7分 　　．　　8分 　　結合圖形可知，二面角的大小為．　　　9分 　　　(Ⅲ)解法4：由(Ⅱ)解法2，　　　10分 　　點到平面的距離＝．　　13分