Question

（2013•通州區(qū)一模）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=2

2

，CC₁=4，M是棱CC₁上一點．
（Ⅰ）求證：BC⊥AM；
（Ⅱ）若N是AB上一點，且

AN

AB

=

CM

CC1

，求證：CN∥平面AB₁M；
（Ⅲ）若CM=

5

2

，求二面角A-MB₁-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明BC⊥AM，可證BC⊥面ACM，由CC₁⊥底面ABC得到BC⊥CM，在三角形ABC中由勾股定理得到AC⊥BC，由線面垂直的判定定理得到BC⊥面ACM，則問題得證；
（Ⅱ）過N作NP∥BB₁交AB₁于P，連結MP，由已知及三角形相似可證得四邊形MCNP是平行四邊形，從而得到線線平行，進一步利用線面平行的判定定理得到線面平行；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知CA，CB，CC₁為三條兩兩相互垂直的直線，以C為原點，CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求二面角A-MB₁-C的大小．

解答：（Ⅰ）證明：因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥平面ABC，
所以 CC₁⊥BC．     
因為AC=BC=2，AB=2

2

，
所以，由勾股定理的逆定理知BC⊥AC． 
又因為AC∩CC₁=C，
所以BC⊥平面ACC₁A₁
因為AM?平面ACC₁A₁，
所以BC⊥AM；
（Ⅱ）證明：如圖，
過N作NP∥BB₁交AB₁于P，連結MP，則
NP∥CC₁，且△ANP∽△ABB₁．
于是有

NP

BB1

=

AN

AB

．
由已知

AN

AB

=

CM

CC1

，有

NP

BB1

=

CM

CC1

．
因為BB₁=CC₁．
所以NP=CM．
所以四邊形MCNP是平行四邊形．  
所以CN∥MP．   
因為CN?平面AB₁M，MP?平面AB₁M，
所以CN∥平面AB₁M；　　　　
（Ⅲ）因為BC⊥AC，且CC₁⊥平面ABC，
所以以C為原點，CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系C-xyz．
因為CM=

5

2

，所以C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，2，4），M(0，0，

5

2

)，

AM

=(-2，0，

5

2

)，

B1M

=(0，-2，-

3

2

)．
設平面AMB₁的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • AM =0 m • B1M =0

，即

-2x+ 5 2 z=0 -2y- 3 2 z=0

，
令x=5，則y=-3，z=4，即

m

=(5，-3，4)．
又平面MB₁C的一個法向量是

CA

=(2，0，0)，
所以cos＜

m

，

CA

＞=

m • CA

| m |•| CA |

=

5×2+(-3)×0+4×0

52+(-3)2+42 22

=

2

2

．   
由圖可知二面角A-MB₁-C為銳角，
所以二面角A-MB₁-C的大小為

π

4

．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了直線與平面垂直的判定，證明的關鍵是進口兩個判定定理的條件，訓練了利用平面法向量求二面角的大小，關鍵是會求平面的法向量，是中檔題．