Question

【題目】某籃球隊對籃球運動員的籃球技能進行統計研究，針對籃球運動員在投籃命中時，運動員在籃筐中心的水平距離這項指標，對某運動員進行了若干場次的統計，依據統計結果繪制如下頻率分布直方圖：
（Ⅰ）依據頻率分布直方圖估算該運動員投籃命中時，他到籃筐中心的水平距離的中位數；
（Ⅱ）在某場比賽中，考察他前4次投籃命中到籃筐中心的水平距離的情況，并且規定：運動員投籃命中時，他到籃筐中心的水平距離不少于4米的記1分，否則扣掉1分．用隨機變量X表示第4次投籃后的總分，將頻率視為概率，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】解：（I） 設該運動員到籃筐的水平距離的中位數為x，
∵0.05×2+0.10+0.20＜0.5，且（0.40+0.20）×1=0.6＞0.5，
∴x∈[4，5]
由0.40×（5﹣x）+0.20×1=0.5，解得x=4.25，
∴該運動員到籃筐的水平距離的中位數是4.25（米）．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖得投籃命中時距離籃筐距離超過4米的概率為p= ，
隨機變量ξ的所有可能取值為﹣4，﹣2，0，2，4，
，
，
，
，
，
，
∴X的分布列為：

X	﹣4	﹣2	0	2	4
P

EX=（﹣4）× +（﹣2）× +0× +2× +4× =
【解析】（I） 設該運動員到籃筐的水平距離的中位數為x，推導出0.40×（5﹣x）+0.20×1=0.5，由此能求出該運動員到籃筐的水平距離的中位數．（Ⅱ）由頻率分布直方圖得投籃命中時距離籃筐距離超過4米的概率為p= ，隨機變量ξ的所有可能取值為﹣4，﹣2，0，2，4，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．