Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N*），其中m為實常數，m≠-3且m≠0，
（1）求證：{a_n}是等比數列；
（2）若數列{a_n}的公比滿足q=f（m）且b₁=a₁，b_n=f（b_n-1）（n∈N*，n≥2），求{b_n}的通項公式；
（3）若m=1時，設T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n（n∈N*），是否存在最大的正整數k，使得對任意n∈N*均有T_n＞成立，若存在求出k的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由，得，
兩式相減，得，
∴，
∵m是常數，且m≠-3，m≠0，
故為不為0的常數，
且由可得：，
∴{a_n}是等比數列。
（2）由，且n≥2時，，
得，
∴是以1為首項，為公差的等差數列，
∴，
故。
（3）由已知，
∴，
相減得：，
∴，
，T_n遞增，
∴，
對n∈N*均成立，
∴=1，
又k∈N*，
∴k的最大值為7。