某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產
千件，需另投入成本為
，當年產量不足80千件時，
（萬元）.當年產量不小于80千件時，
（萬元）.每件商品售價為500元.通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完.
（1）寫出年利潤
（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；
（2）年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？
（1）
；（2）當
時，即
時
取得最大值1000萬元.
解析試題分析：
對于有關利潤的題目，要注意總銷售額、成本，利潤=總銷售額-總成本，在題目中，如果含有的范圍有幾段，則要分論，函數寫成分段函數形式；則由題知每件商品售價為0.05萬元，則千件商品銷售額為
萬元，在
時，年利潤
；在
，年利潤
，整理好結果用分段函數表示；（2）求利潤最大，即是求函數的最大值，由于是分段函數，則分別求出每段函數的最大值，最終比較兩段最大中的較大者，即是函數最大；由（1）可求
則在時用二次函數的方法求最大，注意的范圍，在中，利用均值不等式求出，注意等號成立的條件.
試題解析：（1）由題知每件商品售價為0.05萬元，則千件商品銷售額為萬元，
當時，年利潤
；
當，年利潤
，
則
（2）當
時，
此時，當
時，取得最大值
萬元. 當
時， 
，當時，即時取得最大值1000萬元. 
，所以，當產量為100千件時，該廠在這一商品中所獲利潤最大，最大利潤為1000萬元.
考點：1.函數的實際應用，2.分段函數的解析式的求法，3.分段函數最大值的求解.
名題訓練系列答案
期末集結號系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某種海洋生物身體的長度
（單位：米）與生長年限t（單位：年）
滿足如下的函數關系：
.（設該生物出生時t=0）
（1）需經過多少時間，該生物的身長超過8米；
（2）該生物出生后第3年和第4年各長了多少米？并據此判斷，這2年中哪一年長得更快．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在一條筆直的工藝流水線上有
個工作臺，將工藝流水線用如圖
所示的數軸表示，各工作臺的坐標分別為
，
，
，
，每個工作臺上有若干名工人．現要在流水線上建一個零件供應站，使得各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和最短．
（Ⅰ）若
，每個工作臺上只有一名工人，試確定供應站的位置；
（Ⅱ）若
，工作臺從左到右的人數依次為
，
，
，，，試確定供應站的位置，并求所有工人到供應站的距離之和的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
一種放射性元素，最初的質量為
，按每年
衰減.
（1）求
年后，這種放射性元素的質量
與
的函數關系式；
（2）求這種放射性元素的半衰期（質量變為原來的
時所經歷的時間）.（
）
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，
是一個矩形花壇，其中AB=4米，AD=3米．現將矩形花壇擴建成一個更大的矩形花園
，要求：B在
上，D在
上，對角線
過C點，且矩形的面積小于64平方米．
（Ⅰ）設長為
米，矩形的面積為
平方米，試用解析式將表示成的函數，并寫出該函數的定義域；
（Ⅱ）當的長度是多少時，矩形的面積最小?并求最小面積．
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，求
的值.
，求
關于
的函數關系式及
的值.
在
時有最大值2，求a的值．
的定義域為
，且同時滿足以下三個條件：①
；②對任意的
，都有
；③當
時總有
.
的值；
時，恒有
.