Question

【題目】已知定點O（0，0），A（3，0），動點P到定點O距離與到定點A的距離的比值是 ．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線；
（Ⅱ）當λ=4時，記動點P的軌跡為曲線D．F，G是曲線D上不同的兩點，對于定點Q（﹣3，0），有|QF||QG|=4．試問無論F，G兩點的位置怎樣，直線FG能恒和一個定圓相切嗎？若能，求出這個定圓的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設動點P的坐標為（x，y），
則由|PO|=|PA|得λ（x2+y2）=（x﹣3）2+y2 ，
整理得：（λ﹣1）x2+（λ﹣1）y2+6x﹣9=0，
∵λ＞0，∴當λ=1時，方程可化為：2x﹣3=0，方程表示的曲線是線段OA的垂直平分線；
當λ≠1時，則方程可化為，+y2=，
即方程表示的曲線是以（﹣，0）為圓心，為半徑的圓．
（Ⅱ）當λ=4時，曲線D的方程是x2+y2+2x﹣3=0，
故曲線D表示圓，圓心是D（﹣1，0），半徑是2．
設點Q到直線FG的距離為d，∠FQG=θ，
則由面積相等得到|QF||QG|sinθ=d|FG|，且圓的半徑r=2．
即d===1．于是頂點Q到動直線FG的距離為定值，
即動直線FG與定圓（x+3）2+y2=1相切．
【解析】（Ⅰ）設動點P的坐標為（x，y），由|PO|=|PA|代入坐標整理得（λ﹣1）x2+（λ﹣1）y2+6x﹣9=0，對λ分類討論可得；
（Ⅱ）當λ=4時，曲線D的方程是x2+y2+2x﹣3=0，則由面積相等得到|QF||QG|sinθ=d|FG|，且圓的半徑r=2，由點到直線的距離公式以及直線和圓的位置關系可得．