Question

【題目】在直角坐標系xOy中，直線C1：x=﹣2，圓C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求C1 ， C2的極坐標方程；
（Ⅱ）若直線C3的極坐標方程為θ= （ρ∈R），設C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的 極坐標方程為 ρcosθ=﹣2，
故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的極坐標方程為：
（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，
化簡可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．
（Ⅱ）把直線C3的極坐標方程θ= （ρ∈R）代入
圓C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，
可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，
求得ρ1=2 ，ρ2= ，
∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|= ，由于圓C2的半徑為1，∴C2M⊥C2N，
△C2MN的面積為 C2MC2N= 11= ．

【解析】（Ⅰ）由條件根據x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1 ， C2的極坐標方程．（Ⅱ）把直線C3的極坐標方程代入ρ2﹣3 ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，結合圓的半徑可得C2M⊥C2N，從而求得△C2MN的面積 C2MC2N的值．