Question

已知橢圓C的方程為（a＞0），其焦點在x軸上，點Q為橢圓上一點．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設動點P（x，y）滿足，其中M、N是橢圓C上的點，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值；
（3）在（2）的條件下探究：是否存在兩個定點A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點Q坐標代入橢圓方程即可求得a²；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直線OM與ON的斜率之積為，可得M、N坐標間的關系式，由，，從而可化為M、N坐標的表達式，再由M、N是橢圓C上的點即可求得為定值；
（3）由（2）知，動點P（x，y）滿足，從而可判斷點P軌跡是橢圓，其焦點即為定點A、B；
解答：解：（1）因為點為橢圓上一點，
所以，解得a²=4，
所以橢圓方程為；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
又，化簡得x₁x₂+2y₁y₂=0，
又M、N是橢圓C上的點，所以，，即，，
由，，
所以
=
=4+4×4+4（x₁x₂+2y₁y₂）
=20（定值）；                                     
（3）由（2）知，動點P（x，y）滿足，即，
所以點P的軌跡是以為焦點的橢圓．
故存在點A（）、B（），使得|PA|+|PB|=（定值）．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解及平面向量基本定理，考查學生對問題的理解分析能力及解決問題的能力，具有一定綜合性．