Question

已知點(diǎn)P是橢圓

x2

4

+y2=1上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，又A（2，0）、B（0，1），O是原點(diǎn)，則四邊形OAPB的面積的最大值是

 

．

Answer 1

分析：利用三角函數(shù)來解答這道題，橢圓方程

x2

4

+y2=1上 里面的自變量x，y可以表示為 x=2cosa y=sina 本題中要求第一象限，這樣就應(yīng)該有0＜a＜π，設(shè)P為（2cosa，sina）這樣四邊形OAPB的面積就可以表示為兩個三角形OAP和OPB面積之和，對于三角形OAP有面積S₁=sina 對于三角形OBP有面積S₂=cosa 這樣四邊形的面積S=S₁+S₂=sina+cosa也就相當(dāng)于求解sina+cosa的最大值，0＜a＜π，sina+cosa=

2

sin（a+

π

4

）這樣其最大值就應(yīng)該為

2

，并且當(dāng)且僅當(dāng)a=

π

4

時成立．

解答：解：由于點(diǎn)P是橢圓

x2

4

+y2=1上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，
 設(shè)P為（2cosa，sina）即x=2cosa y=sina （0＜a＜π），
這樣四邊形OAPB的面積就可以表示為兩個三角形OAP和OPB面積之和，
對于三角形OAP有面積S₁=sina 對于三角形OBP有面積S₂=cosa
∴四邊形的面積S=S₁+S₂=sina+cosa
=

2

sin（a+

π

4

）
其最大值就應(yīng)該為

2

，
并且當(dāng)且僅當(dāng)a=

π

4

時成立．所以，面積最大值

2

．
故答案為：

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，解答的關(guān)鍵在于利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)出橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)的有界性求最值．