Question

（本小題滿分13分）
已知橢圓的短軸長為，且與拋物線有共同的焦點，橢圓的左頂點為A，右頂點為，點是橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線分別交于兩點．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求線段的長度的最小值；
（Ⅲ）在線段的長度取得最小值時，橢圓上是否存在一點，使得的面積為，若存在求出點的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）（2）8（3）或

（I）由已知得，拋物線的焦點為，則，又．
由，可得．
故橢圓的方程為．…………………………………………4分
（Ⅱ）直線的斜率顯然存在，且，故可設直線的方程為，從而．
由得．………………………………6分
設，則 ．所以，從而．
即又，
則直線的斜率為．
由    得
所以．
故．
又，．
當且僅當，即時等號成立．
所以當時，線段的長度取最小值．…………………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當的長度取最小值時，．
則直線的方程為，此時，．
若橢圓上存在點，使得的面積等于，則點到直線的距離等于，
所以在平行于且與距離等于的直線上．
設直線．
則由 得．………………………………………10分
．即．
由平行線間的距離公式，得，
解得或（舍去）．
可求得或．…………………………………………13分