Question

【題目】已知數列滿足記數列的前項和為，

（1）求證：數列為等比數列，并求其通項；

（2）求；

（3）問是否存在正整數，使得成立？說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）當為偶數時， 都成立，（3）詳見解析

【解析】試題分析：（1），所以為等比數列，又 ，所以；（2） ，所以 ，分奇偶討論，當為奇數時，可令，當為偶數時，可令；（3），當 為偶數時， 成立 .

試題解析：

因為

，

即 ，所以。

（2） ，所以 ，

當為奇數時，可令

則

，

當為偶數時，可令

則

；

（3）假設存在正整數 ，使得 成立，

因為 ， ，

所以只要

即只要滿足 ①： ，和②： ，

對于①只要 就可以；

對于②，

當 為奇數時，滿足 ，不成立，

當 為偶數時，滿足，即

令 ，

因為

即 ，且當 時， ，

所以當 為偶數時，②式成立，即當 為偶數時， 成立 .