Question

在如圖的幾何體中，平面為正方形，平面為等腰梯形，，，，.

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）先利用余弦定理以及得到與的等量關(guān)系，然后利用勾股定理證明，再結(jié)合已知條件并利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；證法二是在中利用正弦定理并結(jié)合三角函數(shù)求出的大小，進(jìn)而得到，再結(jié)合已知條件并利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）解法一是將進(jìn)行平移使得與平面相交，即取的中點(diǎn)，通過證明四邊形為平行四邊形來達(dá)到證明的目的，于是將問題轉(zhuǎn)化為求直線與平面的角的正弦值，取的中點(diǎn)，先證明平面，于是得到直線與平面所成的角為，最后在直角三角形中計(jì)算的值；解法二是建立以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求直線與平面所成角的正弦值.
試題解析：（1）證明1：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031416741596.png" style="vertical-align:middle;" />，，
在中，由余弦定理可得，
以．所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031416772568.png" style="vertical-align:middle;" />，，、平面，
所以平面．
證明2：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031416756678.png" style="vertical-align:middle;" />，設(shè)，則，
在△中，由正弦定理，得.
為，所以．
整理得，所以.所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031416772568.png" style="vertical-align:middle;" />，，、平面，
所以平面；
（2）解法1：由（1）知，平面，平面，
所以．
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031416694555.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031418207619.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面，
取的中點(diǎn)，連結(jié)，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031418332526.png" style="vertical-align:middle;" />是等腰梯形，且，，
所以．所以是等邊三角形，且，
 
取的中點(diǎn)，連結(jié)、，則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031418597552.png" style="vertical-align:middle;" />平面，，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031418644640.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面，
所以為直線與平面所成角，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031418737487.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031418800931.png" style="vertical-align:middle;" />，，
在△中，．所以直線與平面所成角的正弦值為；
解法2：由（1）知，平面，平面，
所以．
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031416694555.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031418207619.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面，所以、、兩兩互相垂直.
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031418332526.png" style="vertical-align:middle;" />是等腰梯形，且，
所以．
不妨設(shè)，則，，，
，，
所以，，．
設(shè)平面的法向量為，則有，即，
取，得是平面的一個法向量，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.